Kirjaudu sisään

Kurssikuvauksia

Tämä sivu sisältää kuvauksia matematiikan perus- ja aineopintokursseista. Lisää ja tarkempaa tietoa löytyy luonnollisesti kurssien omilta sivuilta. Alla muutamia hyödyllisiä linkkejä.

- Menneiden vuosien kurssit löytyvät laitoksen sivuilta
- Vanhoja kokeita löydät omasta tenttiarkistostamme 
- Matemaattisten tiedeiden kandiohjelman sivuilta löydät eri opintosuuntien tutkintovaatimukset ja mallilukujärjestykset (vuonna 2017 tai sen jälkeen aloittaneille)
- Yliopiston nettisivuilta löydät tietoa niin ikään matematiikan ja tilastotieteen sekä Life science informatics maisteriohjelmista
- Vanhojen tutkinto-ohjelmien matematiikan tutkintovaatimukset löytyvät täältä ja matematiikan aineenopettajan täältä

Perusopinnot

Johdatus yliopistomatematiikkaan (5 op)
Johdatus yliopistomatematiikkaan eli tuttavallisemmin JYM on I. periodissa heti ensimmäisiä yliopistomatematiikan kursseja, joita tulet käymään. Kurssilla käydään myöhemmin tarvittavia perusasioita kuten joukko-oppia ja logiikkaa, ja tutustutaan erilaisiin todistustekniikoihin. Lisäksi kurssilla esitellään kompleksilukuja ja funktioiden ominaisuuksia tarkemmin. Kurssi antaa hyvän työkalupakin myöhempiin matematiikan opintoihin.

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (tuttavallisemmin Linis I) kuuluu JYMin ohella matematiikan peruopintoihin, ja se luennoidaan II. periodissa. Kurssi alkaa mukavilla lineaarisilla yhtälöillä ja -yhtälöryhmillä, esittelee matriisin käsitteen sekä tuo esile hyödyllisiä yhteyksiä näiden välillä. Tämän jälkeen siirrytään matriisit kainalossa tutkimaan vektoriavaruuksia koordinaatteineen.
Kurssin luentomuistiinpanot löytyvät kurssin kotisivulta, mutta ovat ajoittain varsin raskassoutuisia ja mekaanisia, joten luennoilla käynti kannattaa. Prujua on mukavampi lukea luennoitsijan johdolla ennen kuin silmä tottuu matemaattiseen tekstiin. Kurssilla käsitellään luentomonisteen kaksi ensimmäistä lukua, jotka eivät yksinään tarjoa kovinkaan paljon syvällisiä tuloksia, mutta toimivat pohjana jatkona toimivassa Linis II:ssa käsiteltäville asioille.

Raja-arvot (5 op)
Kurssilla tutustutaan raja-arvon täsmälliseen määritelmään, tutkitaan lukujonoja ja epäyhtälöitä sekä astutaan todistuksien ihmeelliseen maailmaan. Kurssi saattaa vaikuttaa aluksi hyvinkin abstraktilta ja vaikealta ymmärtää, mutta pian huomaat epsilonin olevan suurin ystäväsi.

Kurssi luennoidaan I. periodissa ja se on osa neljän analyysin kurssin pakettia matematiikan perusopinnoissa. Oppimateriaalina käytetään Harjulehdon, Klénin ja Koskenojan kirjaa Analyysiä reaaliluvuilla, mikä kannattaa hankkia, sillä sitä käytetään muillakin ensimmäisen vuoden analyysin kursseilla. Materiaali on paikoin aika tiivistä, joten luennoilla kannattaa käydä ja vinkkinä kirjan lukemiseen on tehdä se rauhassa kynän ja paperin kanssa. 

Kurssilla on kahdet laskuharjoitukset viikossa, joissa pääset ryhmässä laskemaan tehtäviä ohjaajan neuvomana ja esittämään ratkaisuja viime kerran tehtäviin. Laskuharjoituksissa kannattaa ehdottomasti käydä, sillä niistä saa lisäpisteitä tenttiin ja ne ovat matalan kynnyksen paikka oppia ratkomaan yhdessä ja esittämään matematiikkaa, molemmat ovat elintärkeitä taitoja matemaatikolle. Laskuharjoituksissa myös tutustuu kurssitovereihin ja voi löytää ystäviä! 

Differentiaalilaskenta (5 op)
Differentiaalilaskenta luennoidaan II. periodissa ja jatkaa siitä mihin Raja-arvot jäi. Kurssilla tuodaan lukiosta tutut käsitteet kuten funktion jatkuvuus ja derivoituvuus matemaattisen täsmälliselle pohjalle hyödyntämällä raja-arvoja. Tarkalle analyysille on tarvetta, sillä nähdään esimerkiksi, että kaikki jatkuvat funktiot eivät ole derivoituvia. Tämän jälkeen näytetään muun muassa derivointisäännöt ja se että jatkuva funktio saa suljetulla välillä suurimman sekä pienimmän arvonsa sekä väliarvolause.  

Kurssilla laskuharjoitukset toimivat samalla kuin Raja-arvot kurssilla. 

Integraalilaskenta (5 op)
Jatkoa kurssille Differentiaalilaskenta ja luennoidaan III. periodissa. Syksyllä aloitettu linja tuttujen käsitteiden täsmällisestä määrittelystä jatkuu ja tällä kertaa on integraalin vuoro. Kurssilla paneudutaan Riemannin integraalin käsitteeseen, mietitään derivoinnin ja integroinnin välistä yhteyttä ja tutkitaan funktiojonojen ja epäoleellisten integraalien suppenemista.  

Kurssilla saadaan myös lisää välineitä integraalien laskemiseen ja integrointitaitosi tulevat käyttöön toden teolla. Mikäli ne ovat päässeet hieman unohtumaan, tässä vaiheessa on hyvä kertailla.

Aineopinnot

Sarjat (5 op)
Mitä tarkoittaa summata äärettömän monta lukua yhteen ja milloin näin voi tehdä? Tähän kysymykseen vastaa IV. periodissa luennoitava ”fuksianalyysien” neljäs ja viimeinen kurssi Sarjat, joka kuitenkin kuuluu jo aineopintoihin. Kurssilla tutkitaan sarjoja, niiden suppenemista sekä suppenemista itsenäisesti ja tasaisesti. Tähän tarkoitukseen kehitetään suppenemistestejä sarjoille. Kurssilla tutustutaan myös potenssisarjoihin ja ideaan, että tarpeeksi sileän funktion voi esittää sarjana sen derivaatoista eli Taylorin sarjoihin. 

Kurssin laskuharjoitukset toimivat samalla systeemillä kuin Integraalilaskennan. 

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II (5 op)
Linis II jatkaa III. periodissa siitä, mihin Linis I:ssä jäätiin. Alussa siirrytään vektoriavaruuksista hauskoihin sisätuloavaruuksiin ja esitellään lineaarikuvauksen käsite. Tällöin huomataan edellisestä kurssista tutut matriisit voidaan samastaa lineaarikuvausten kanssa.

Kurssi käyttää samaa luentomonistetta kuin Linis I, ja teksti pysyy edelleen ajoittain hieman raskassoutuisena. Luennoilla tapahtuva purku helpottaa omaksumista, sillä asiaa on edellistä kurssia enemmän ja se voi paikoin olla haastavampaa, mutta luonnollisesti mielenkiintoisempaa ja hyödyllisempää.

Topologia IA ja IB (5 op + 5 op) 
Topologia I, joka on jaettu kahdeksi kurssiksi A ja B, on omiaan toisen vuoden opiskelijalle. Kurssit järjestetään keväisin peräkkäin, ja niillä päästään tutkimaan ns. matematiikan syvempää olemusta. Wikipediaa lainaten: "Topologia on matematiikan osa-alue, joka käsittelee jatkuvuutta, raja-arvoja, kappaleiden muuttumattomia ominaisuuksia, kun niitä venytetään ja väännellään yms."

Kursseilla tutustutaan metrisiin avaruuksiin eli avaruuksiin, joiden pisteiden välille on määritelty jokin tietyt ehdot täyttävä etäisyysfunktio, metriikka. Tällä saadaan määritettyä pisteiden välillä mitä eriskummallisimpia etäisyyksiä, joista suurin osa ei vaikuta lainkaan luonnolliselta. Näin saatava teoria on kuitenkin näin yleisempää kuin arkipäivän etäisyyskäsitteen, euklidisen metriikan, pohjalle rakennettu.

Myöhemmin määritellään analyysin kursseista tuttu jatkuvuuden käsite yleisemmissä metrisissä avaruuksissa ja mm. avoimet ja suljetut joukot, joita pyöritellään kurssin aikana paljon. Myös tärkeään ja hyödylliseen kompaktiuden käsitteeseen törmätään. Ylipäätään moni analyysin tulos saa yleistyksen korkeampiulotteiseen tai muuten vain yleisempään avaruuteen.

Kurssilla on perinteisesti käytetty Limeksen painamaa Jussi Väisälän oppikirjaa, jota on useasti pidetty yhtenä parhaista matematiikan suomenkielisistä oppikirjoista..

Proseminaari (2 op)
Matematiikan kursseihin liittyvä kaikille pakollinen harjoitustyö, joka suoritetaan useimmiten toisen opintovuoden keväällä. Luonteeltaan se on hieman tavallista laskaritehtävää vaikeampi tai laajempi. Kyseessä on myös hyvä tilaisuus päästä käyttämään matemaattisen tekstin kirjoittamiseen tarkoitettua LateX-ohjelmaa, jonka käytön opettelemiseen tarjotaan keväisin kurssi.

Vektorianalyysi I ja II (5 op + 5 op)
Kurssien Raja-arvot, Differentiaalilaskenta, Integraalilaskenta ja Sarjat asioita moniulotteisessa avaruudessa. Kurssi pidetään yleensä syksyisin ja suositellaan käytäväksi toisena opiskeluvuotena. Osa asioista on tuttuja Topologia I:stä, jos sen on sattunut ennen vektorianalyysiä käymään, mutta tunnetusti se, ettei ole opiskellut topologiaa ei ole tekosyy olla osaamatta vektorianalyysiä.

Materiaalina käytetään usein luentomonistetta, mutta Olli Martion kirjoittama Limeksen painama Vektorianalyysi on erinomainen apu, jos sen onnistuu käsiinsä saamaan.

Mitta ja integraali (5 op)
Mitta ja integraali on aineopintojen huipentuma. Kurssilla tutustutaan mittateorian perusteisiin sekä määritellään Lebesguen mitta ja Lebesguen integraali, jonka avulla laskea integraaleja funktioille, joiden Riemannin integraalia ei ole olemassa.

Algebralliset rakenteet I ja II (5 op + 5 op)
Algebralliset rakenteet I ja II kursseilla määritellään mm. laskutoimitus, ryhmä ja aliryhmä, joita myöhemmin syvennetään ja otetaan mukaan käsitteitä, kuten kunta, isomorfismi ja kokonaisalue. Kurssit on hyvä käydä ensimmäisenä tai toisena opiskeluvuotena. Oppimateriaalina toimii Jokke Häsän ja Johanna Rämön kirjoittama kirja "Johdatus abstraktiin algebraan".

Osa kurssin asioista, kuten jaollisuuden yhteydessä käsiteltävä kongruenssin käsite, saattaa olla lukiosta tuttua, mutta nämäkin tiedot kannattaa yrittää sisäistää, sillä jatkokurssilla vaikeusasteen nousu jyrkkenee. Tällöin ensimmäisen kurssin perustietojen tukeva hallinta on suureksi eduksi. Kurssin esitietoina vaaditaan Johdatus yliopistomatematiikkaan, ja Liniksiä suositellaan käydyiksi.

Johdatus logiikkaan I ja II (5 op + 5 op)
Ensimmäisellä kurssilla lähdetään liikkeelle hieman samoista maisemista mitä lukion kurssilla tarkasteltiin. Totuustaulut ja konnektiivit ovat luultavasti useille tuttuja, mutta nyt niitä aletaan tutkimaan matemaattisemmassa ympäristössä. Etenkin toisen kurssin aikana laskareita kannattaa tehdä vielä tavanomaistakin ahkerammin, sillä muodollisten päättelyiden teko ei tahdo onnistua ilman käytännön tuomaa harjoitusta. Mukavia käydä milloin vain opiskeluiden aikana.

Differentiaaliyhtälöt I ja II (5 op + 5 op)
Kevään differentiaaliyhtälöiden kurssit kuuluvat valinnaisiin aineopintoihin ja paneutuvat nimensä mukaisesti differentiaaliyhtälöihin ja niiden ratkaisemiseen. Aluksi lähdetään liikkeelle separoituvista yhtälöistä, joista päästään hieman yleisempiin eksakteihin yhtälöihin. Kurssit käsittävät ensimmäisen kertaluvun yhtälöiden eri tyyppejä ja niiden ratkaisemista, joiden jälkeen päästään toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöihin ja niiden ratkaisumenetelmiin. Matemaattisesti kurssilla ei mennä kovinkaan syvälle, vaan pääpaino on perusongelmien ratkaisumenetelmissä, täten kovin raskaita todistuksia ei olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslausetta lukuunottamatta esiinny.

Kurssien sisältö vaihtelee melko paljon luennoitsijasta riippuen. Samat perusasiat toki käydään aina, mutta muuten painotukset voivat olla erilaisia.

Ensimmäinen kurssi ei vaadi esitietoja yliopistomatematiikasta ja sen voi suorittaa jo ensimmäisenä vuonna, vaikka se on suunnattu enemmänkin toisen vuoden opiskelijoille. Joissakin kurssin kohdissa mainitaan ensimmäisen vuoden opiskelijalle mahdollisesti tuntemattomia asioita, mutta niiden omaksumisen kurssin aikana ei pitäisi tuottaa ylitsepääsemättömiä vaikeuksia.

Kurssien "luonnollinen" jatke on osittaisdifferentiaaliyhtälöt, joka luennoidaan keväisin ja vaatii ainakin vektorianalyysin esitiedoikseen.

Todennälöisyyslaskenta I (5 op)
Kuuluu matematiikan aineopintojen lisäksi myös tilastotieteen aineopintoihin. Kurssilla perustellaan tarkemmin ja syvennetään lukion todennäköisyyslaskennan tietoja. Voidaan sisällyttää myös tilastotieteen sivuainekokonaisuuteen.

Tilastollinen päättely (5 op)
Kuuluu tilastotieteen aineopintoihin. Askel tilastotieteen maailmaan, jossa tutustutaan sekä frekventistisen että baysesiläisen päättelyn perusteisiin.